** Volume d'un tétraèdre (2)

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) . On considère les points  \(\text A(-1~;-1~;~0)\) , \(\text B(6~;-5~;~1)\) , \(\text C(1~;~2~;-2)\) et \(\text S(13~;~37~;~54)\) .

1. Justifier que les points \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) définissent bien un plan.

2. a. Déterminer la nature du triangle \(\mathrm{ABC}\) .
    b. Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle \(\mathrm{ABC}\) est, en unités d'aire, \(\dfrac{\sqrt{1\,122}}{2}\) .

3. Prouver que les points \(\text A\) , \(\text B\) , \(\text C\) et \(\text S\) ne sont pas coplanaires.

4. On admet que le projeté orthogonal de \(\text S\) sur le plan \(\mathrm{(ABC)}\) est le point \(\text H(3~;~5~;-4)\) . 
Déterminer le volume du tétraèdre \(\mathrm{SABC}\) .